Поверхности второго порядка

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Поверхности второго порядка

    Содержание.

    Понятие поверхности второго порядка

    1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

    Классификация поверхностей второго порядка.

    1. Классификация центральных поверхностей.

    1°. Эллипсоид.

    2°. Однополостный гиперболоид.

    3°. Двуполостный гиперболоид.

    4°. Конус второго порядка.

    2. Классификация нецентральных поверхностей.

    1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

    2°. Параболический цилиндр

    Исследование формы поверхностей второго порядка по

    их каноническим уравнениям.

    Эллипсоид.

    Гиперболоиды.

    1°. Однополостный гиперболоид.

    2°. Двуполостный гиперболоид.

    Параболоиды.

    1°. Эллиптический параболоид.

    2°. Гиперболический пара­болоид.

    Конус и цилиндры второго порядка.

    1°.

    Конус второго порядка.

    2°.

    Эллиптический цилиндр.

    3°. Гиперболический цилиндр.

    4°. Параболический цилиндр.

    Список использованной литературы.

    «Аналитическая геометрия»

    В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

    § 1.

    Понятие поверхности второго порядка

    Поверхность

    второго порядка -

    геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

    2 + а

    уz +

    xz +

    у+2а

    в котором по крайней мере один из коэффициентов

    , а

    23 , a

    отличен от нуля.

    Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка.

    Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой

    декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

    1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

    Справедливо следующее утверждение.

    являются инвариантами уравнения

    (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

    Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

    § 2.

    Классификация поверхностей второго порядка

    1. Классификация центральных поверхностей.

    Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В

    резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

    2 + а

    2 + а

    Так как инвариант

    для центральной поверхности

    отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно

    , то коэффициенты

    удовлетворяют условию :

    Возможны следующие случаи

    1°.

    Коэффициенты

    одного знака, а коэффициент

    отличен от нуля. В этом случае поверхность

    называется эллипсоидом.

    Если коэффициенты

    одного знака,

    то левая часть (2) ни при каких значениях

    х, у, z

    не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

    Если знак коэффициентов

    противоположен знаку коэффициента

    , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

    Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

    положительны. Обозначим эти числа соответственно

    2, с

    После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

    Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида.

    Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси

    Ох, Оу

    и Оz

    называются его главными осями.

    2°.

    Из четырех коэффициентов

    два одного

    зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом.

    Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

    . Тогда числа

    положительны. Обозначим эти числа соответственно

    2, с

    . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

    Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида.

    Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси

    Ох, Оу

    называются его глав­ными осями.

    . Знак одного из первых трех коэффициентов

    противоположен знаку остальных коэффициентов.

    В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

    Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности,

    . Тогда

    Обозначим эти числа

    соответственно через

    2, b

    2, с

    . Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

    Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида.

    Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

    уравнением, то оси

    Ох, Оу

    и Оz

    называются его главными осями.

    . Коэффициент

    равен нулю.

    В этом случае поверхность

    называется конусом второго порядка.

    Если коэффициенты

    одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (

    ) лишь для

    х=у=z=0

    т. е. уравнению поверхности

    удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты

    имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

    Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

    . Обозначим

    соответственно через

    2, b

    . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

    Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка

    2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

    Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант

    равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

    + а

    +2а

    для

    системы координат

    Ox'y'z'

    Так как инвариант

    и его значение, вы­численное для уравнения (7)

    , равно

    • а

    , то один или два из коэффициентов

    , а

    равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

    Один из коэффициентов

    , а

    равен нулю.

    Ради

    определенности будем считать, что

    (если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат

    х', у', z'

    к новым координатам

    х, у,

    по формулам

    Подставляя

    х', у'

    найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

    на

    , а

    на

    на

    на

    получим следующее уравнение поверхности

    в новой системе ко­ординат

    Oxyz

    2 + а

    + 2pz + q = 0

    Пусть

    0, q =

    . Поверхность

    распадается на пару пло­скостей

    При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки

    одинаковы, и вещественными, если знаки

    различны.

    Пусть

    Уравнение (9) принимает вид

    2 + а

    + q = 0

    (10)

    Известно, что уравнение (10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси

    При этом если

    , а

    имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых

    , т. е. ци­линдр будет мнимым. Если же среди коэффициентов

    , а

    имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр б...


    Похожие материалы:


    Добавить комментарий
    Старайтесь излагать свои мысли грамотно и лаконично

    Введите код:
    Включите эту картинку для отображения кода безопасности
    обновить, если не виден код




© 2009-2015 Все права защищены